简介
在之前我们已经介绍了快速傅里叶变换，利用单位复根，我们可以在 $O(n \ log\ n)$的时间内进行 $DFT$ 和 $IDFT$ 变换。
但是由于不可避免的精度问题，单位复根存在一定的局限性，因此对于正整数的卷积运算，我们通常使用快速数论变换来避免精度问题。
原根
原根的定义
对于一个正整数 $p$，若存在一个数 $g$ 满足 $(p, g) = 1$，并且 $\delta p(g)$ = $\varphi(p)$，其中 $\delta p(g)$ 为使 $g^d \equiv 1 \ (mod \ p)$ 的最小正整数 $d$，称为为 $g$ 是模 $p$ 的原根。
由欧拉定理可知，$\delta p(g)$ 一定小于等于 $\varphi(p)$
原根的计算
我们可以通过枚举一个数 $g$，并检验 $g$ 是不是 $p$ 的原根
在 $NTT$ 中，我们的模数 $p$ 需要是一个质数，因此 $\varphi(p) = p-1$，根据定义，$ \delta p (g) = \varphi(p) = p-1 $，因此对于原根 $g$
$$ \forall_{i \in [1, p-2]} g^i \not \equiv 1 $$
这样的复杂度是 $O(p)$ 的，我们考虑如何优化
对于一个数 $g$，$\delta p(g)$ 一定是 $p-1$ 的约数
假设存在最小的 $d$ 不是 $p-1$ 的约数，那么可以找到一个 $x$ 满足 $xd > p-1 > (x-1)d$
$$g^{d^x} \equiv g^{dx} \equiv g^{p-1} \equiv 1 (mod \ p)$$
那么就存在一个更小的 $dx-(p-1)$ 数 $d’$ ，与假设相反。
那么我们只需要枚举 $p-1$ 中除 $p-1$ 的所有约数 $q$
$$\forall g^q \not \equiv 1 (mod \ p)$$
实际上，我们还可以优化，将 $p-1$ 分解质因数
$$p – 1 = \prod_{i=1}^r p_{i}^{k_i} $$
我们只需要判断
$$\forall_{i \in [1, r]} g^{\frac{p-1}{p_i}} \not \equiv 1 (mod \ p)$$
因为对于一个更小的约数 $q$，如果它已经同余 $1$ 了，因为一定存在至少一个 $p_i$ 满足 $q \mid \frac{p-1}{p_i}$，那么它一定能通过一个幂运算使得 $g^{\frac{p-1}{p_i}}$ 也同余 $1$。
inline int root(int x){
for(register int i=2; i<=x; i++){
int tmp = x - 1;
bool flag = true;
for(register int k=2; k * k <= (x - 1); k++){
if(tmp % k == 0){
if(powx(i, (x - 1) / k, x) == 1){
flag = false;
break;
}
while(tmp % k == 0)
tmp /= k;
}
}
if(flag && (tmp == 1 || powx(i, (x - 1) / tmp, x) != 1)){
return i;
}
}
}
原根的性质
我们还需要原根拥有和单位复根一样的性质来进行 $DFT$ 和 $IDFT$ 变换。
令 $p = qn + 1$ 其中 $n$ 是 $2$ 的幂
性质一
令 $\omega_n = g^q$，那么 $1, g^q, g^{2q}, \cdots, g^{(n-1)q} $互不相同，满足单位复根的性质一
性质二
由 $\omega_n = p^q$，那么 $\omega_{2n} = p^{\frac{q}{2}} (p = \frac{q}{2} \times 2n + 1)$，所以 $\omega_{2n}^{2k} = \omega_n^k $，满足单位复根的性质二
性质三
因为
$$\omega_{n}^{n} \equiv g^{p-1} \equiv 1 (mod \ p)$$
所以
$$\omega_{n}^{\frac{n}{2}} \equiv \pm 1 (mod \ p)$$
又因为
$$\omega_{n}^{\frac{n}{2}} \not \equiv \omega_{n}^{0} (mod \ p) $$
所以
$$\omega_{n}^{\frac{n}{2}} \equiv – 1 (mod \ p)$$
故
$$\omega_{n}^{k + \frac{n}{2}} \equiv – \omega_{n}^{k} (mod \ p)$$
满足单位复根的性质三
性质四
$$
\begin{aligned}
S(\omega_n^k) & = 1 + \omega_n^k + (\omega_n^k)^2 + \cdots + (\omega_n^k)^{n-1} \\
& = \frac{1-(\omega_n^k)^n}{1-\omega_n^k} \\
& = \frac{(\omega_n^k)^n – 1}{\omega_n^k – 1} \\
\end{aligned}
$$
由性质三
$${(\omega_{n}^{k})}^{n} – 1 \equiv 0 (mod \ p) $$
那么 $S(\omega_n^k) = 0$，满足单位复根的性质四
快速数论变换
接下来的操作和快速傅里叶变换一样，只是每一步的操作都需要取模，在最后输出结果时，由除以 $n$ 变为乘以 $n^{-1}$
$NTT$ 常用的模数为 $998244353$ 和 $1004535809$ ，它们的原根为 $3$
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int MOD = 998244353;
const int MAXN = 4194304 + 10;
inline long long powx(long long a, long long b, long long mod){
long long ans = 1;
for(; b; b >>= 1){
if(b & 1) ans *= a, ans %= mod;
a *= a, a %= mod;
}
return ans;
}
inline long long exgcd(long long a, long long b, long long &x, long long &y){
if(!b){
x = 1, y = 0;
return a;
}
long long d = exgcd(b, a%b, y, x);
y -= x * (a / b);
return d;
}
inline long long inv(long long a, long long mod){
long long x, y;
exgcd(a, mod, x, y);
return (x + mod) % mod;
}
inline int root(int x){
for(register int i=2; i<=x; i++){
int tmp = x - 1;
bool flag = true;
for(register int k=2; k * k <= (x - 1); k++){
if(tmp % k == 0){
if(powx(i, (x - 1) / k, x) == 1){
flag = false;
break;
}
while(tmp % k == 0)
tmp /= k;
}
}
if(flag && (tmp == 1 || powx(i, (x - 1) / tmp, x) != 1)){
return i;
}
}
throw;
}
namespace NTT{
int place[MAXN];
long long omega[MAXN];
long long omegaInverse[MAXN];
inline void init(int n){
int k = 0;
while((1 << k) < n)
k++;
for(register int i=0; i<n; i++){
for(register int j=0; j<k; j++){
if(i & (1 << j)){
place[i] |= 1 << (k - j - 1);
}
}
}
long long g = root(MOD);
long long tmp = powx(g, (MOD - 1) / n, MOD);
for(register int i=0; i<n; i++){
omega[i] = (i == 0) ? 1 : omega[i - 1] * tmp % MOD;
omegaInverse[i] = inv(omega[i], MOD);
}
}
inline void transform(long long *a, int n, long long *omega){
for(register int i=0; i<n; i++){
if(i < place[i]){
swap(a[i], a[place[i]]);
}
}
for(register int range=2; range <= n; range <<= 1){
int mid = range >> 1;
for(register long long *p = a; p != a + n; p += range){
int k = n / range;
for(register int i=0; i<mid; i++){
int tmp = i + mid;
long long t = omega[k * i] * p[i + mid] % MOD;
p[tmp] = (p[i] - t + MOD) % MOD;
p[i] = (p[i] + t) % MOD;
}
}
}
}
inline void dft(long long *a, int n){
transform(a, n, omega);
}
inline void idft(long long *a, int n){
transform(a, n, omegaInverse);
long long tmp = inv(n, MOD);
for(register int i=0; i<n; i++){
a[i] = a[i] * tmp % MOD;
}
}
}
inline int read(){
int x = 0;
int p = 1;
char ch = getchar();
while(ch < '0' || ch > '9'){
if(ch == '-')
p = 0;
ch = getchar();
}
while('0' <= ch && ch <= '9'){
x = x*10 + ch - '0';
ch = getchar();
}
return p ? x : (-x);
}
int n, m, tot;
long long a[MAXN], b[MAXN];
int main(){
n = read();
m = read();
n++;
m++;
for(register int i=0; i<n; i++)
a[i] = read();
for(register int i=0; i<m; i++){
b[i] = read();
}
tot = 1;
while(tot < n + m){
tot <<= 1;
}
NTT::init(tot);
NTT::dft(a, tot);
NTT::dft(b, tot);
for(register int i=0; i<tot; i++){
a[i] = a[i] * b[i] % MOD;
}
NTT::idft(a, tot);
for(register int i=0; i<n+m-1; i++){
printf("%lld ", a[i]);
}
return 0;
}